Rozpoczął swoją edukację muzyczną na fortepianie oraz gitarze, a na początku lat 90. ukończył również studia fotograficzne specjalizując się w fotografii artystycznej. Praca nad zdjęciami w ciemni była okazją, aby przesłuchać ogromną ilość muzyki, zwłaszcza nagrań z dziedziny wykonawstwa historycznie poinformowanego. Sprawiło to, że Anton zainteresował się muzyką dawną, a przede wszystkim utworami lutniowymi Silviusa Leopolda Weissa oraz Jana Sebastiana Bacha. Ta fascynacja zaprowadziła go do Holandii oraz Niemiec, gdzie studiował lutnię u prof. Toyohiko Satoh w Królewskim Konserwatorium w Hadze oraz u prof. Konrada Junghaenela w Hochschule für Musik w Kolonii. Szczególnie zainteresowały go transkrypcje na lutnię barokową solowych utworów skrzypcowych i wiolonczelowych J.S. Bacha. Anton Birua prowadzi klasę lutni w Akademii Muzycznej im F. Nowowiejskiego w Bydgoszczy.